Пошук по сайту


Тема: Вступ. Матриці та визначники ІІ та ІІІ порядків, методи їх обчислення

Тема: Вступ. Матриці та визначники ІІ та ІІІ порядків, методи їх обчислення

Лекційне заняття № 1
Тема: Вступ. Матриці та визначники ІІ та ІІІ порядків, методи їх обчислення

Мета: Навчитися обчислювати визначники другого і третього порядків різними способами.

Література:

  1. Литвин І.І., Конончук О.М., Желізняк Г.О. Вища математика. Навчальний посібник. – Київ: Центр навчальної літератури, - 2004. – 368 с.

  2. Зайцев Є.П. Вища математика: Лінійна та векторна алгебра, аналітична геометрія, вступ до математичного аналізу. Навч.посібник. – Кременчук: Вид-во «Кременчук», 2011. – 570 с.

  3. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч.посібник: У 2-х ч. - - К.: КНЕУ, 2001. – Ч.1. – 546 с.

При виконанні роботи студент повинен

знати: способи обчислення визначників другого і третього порядку та їх властивості;

вміти: обчислювати визначники другого і третього порядків різними способами; виконувати дії з матрицями; знаходити обернену матрицю;.
Основні теоретичні відомості та вказівки

Означення. Квадратна матриця наз матрицею 2 порядку.

Означення. Визначником 2 порядку, що відповідає матриці А, наз число


Означення. Квадратна матриця наз матрицею 3 порядку

Означення. . Визначником 3 порядку, що відповідає матриці А, наз число


(правило трикутника).

Означення. Мінором елемента визначника порядку наз визначник порядку, який утворюється з даного визначника в результаті ви креслення рядка і стовпця, на перетині яких стоїть елемент .

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента визначника порядку наз його мінор , взятий зі знаком , тому
Властивості

1. Величина визначника не змінюється, якщо його рядки зробити стовпцями з тими ж номерами (операція транспонування).

2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (стовпця), то знак визначника зміниться на протилежний.

3. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють0, то визначник дорівнює 0.

4. Загальний множник елементів деякого рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.

5. Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника однакові, то визначник дорівнює 0.

Наслідок Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює 0.

6.Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й теж число (теорема про лінійну комбінацію елементів).

7. Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення (теорема розкладання).

8. Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка дорівнюють 0 (теорема анулювання).

9. Визначник, у якого елементи деякого рядка є сумою двох доданків, дорівнює сумі двох визначників, у першого з яких у зазначеному рядку стоять перші доданки, а у другого – другі; всі інші рядки однакові.
Теорема. Лапласа. Визначник порядку дорівнює сумі добутків всіх можливих мінорів порядку , що розташовані у довільно вибраних рядках на алгебраїчні доповнення цих мінорів.
Основні методи обчислення визначників.

1. Метод пониження порядку.

2. Метод трикутників.

3. Метод зведення до трикутного вигляду.

Матриці.

Означення. Матрицею розміру наз таблиця вигляду



Позначення

Означення. Якщо , матриця наз квадратною порядку .

Означення. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, матриця наз нульовою.

Означення. Квадратна матриця наз діагональною, якщо всі її елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють.

Означення. Якщо на головній діагоналі стоять 1 , то матриця на одиничною Позначається Е.

Означення. Сумою матриць та наз матриця С виду , .

Означення. Добутком матриці на число наз матриця , така що

.

Означення. Добутком матриці на наз матриця , де

, тобто елемент дорівнює сумі добутків відповідних i-го елементів рядка матриці А і j-го стовпця матриці В.

Властивості.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

5.

Означення. Матриці А та В наз переставними, якщо

Означення. Квадратна матриця А наз невиродженою, якщо .

Означення. Матриця, що отримана з даної матриці А заміною її рядків стовпцями, наз транспонованою до даної. Позначення

Означення. Приєднаною до квадратної матриці А наз матриця



Де - алгебраїчні доповнення елементів.

Означення. Оберненою до квадратної матриці А наз матриця така, що .

Теорема. Для того щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно та достатньо, щоб матриця А була не виродженою.

Метод приєднаної матриці для обернення матриць.

Згідно з цим методом обернена матриця знаходиться за формулою



Властивості.

1.

2.

3.

Означення. Рангом матриці наз найвищий з порядків її мінорів, відмінних від нуля. Позначається .

Означення. Відмінний від нуля мінор матриці А, порядок якого , наз базисним мінором.

Теорема. Базисні рядки матриці А лінійно незалежні. Будь-який рядок матриці А може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних рядків.

З теореми випливає, що максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці дорівнює рангу її матриці. Система рядків матриці, яка містить у собі базисний мінор, утворює базис у системі рядків цієї матриці. Аналогічно для стовпців.

Елементарні перетворення матриць

  • перестановка рядків (стовпців);

  • множення рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

  • додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Завдання

1. Обчислити визначник:

а)

б)
в)


г)

Питання для самоконтролю

  1. Як обчислити визначник другого порядку?

  2. Які способи обчислення визначника третього порядку існують?

Висновок:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оцінка______________ Підпис викладача______________

Практичне заняття № 1
Тема: Дії над матрицями. Обернена матриця. Ранг матриці

Мета: Навчитися виконувати дії над матрицями; обчислювати обернену матрицю

Література:


  1. Литвин І.І., Конончук О.М., Желізняк Г.О. Вища математика. Навчальний посібник. – Київ: Центр навчальної літератури, - 2004. – 368 с.

  2. Зайцев Є.П. Вища математика: Лінійна та векторна алгебра, аналітична геометрія, вступ до математичного аналізу. Навч.посібник. – Кременчук: Вид-во «Кременчук», 2011. – 570 с.

3. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч.посібник: У 2-х ч. - - К.: КНЕУ, 2001. – Ч.1. – 546 с.

При виконанні практичної роботи студент повинен

знати: поняття матриці, їх види, дії над матрицями

вміти: поняття матриці, їх види, дії над матрицями
Основні теоретичні відомості та вказівки

1. Знайти матрицю

а), якщо , .


б) Знайти матрицю де .


2. Знайти обернену матрицю до

Питання для самоконтролю

    1. Як виконати додавання, віднімання та множення матриць?

    2. Що називається алгебраїчним доповненням до елементу матриці?


Висновок:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оцінка______________ Підпис викладача______________
Практичне заняття № 2
Тема: Системи -лінійних рівнянь з -невідомими. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими

Мета: формувати вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь методами Крамера, Гаусса та матричним способом

Література:


  1. Литвин І.І., Конончук О.М., Желізняк Г.О. Вища математика. Навчальний посібник. – Київ: Центр навчальної літератури, - 2004. – 368 с.

  2. Зайцев Є.П. Вища математика: Лінійна та векторна алгебра, аналітична геометрія, вступ до математичного аналізу. Навч.посібник. – Кременчук: Вид-во «Кременчук», 2011. – 570 с.

3. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч.посібник: У 2-х ч. - - К.: КНЕУ, 2001. – Ч.1. – 546 с.
При виконанні практичної роботи студент повинен

знати: способи розв’язку систем лінійних рівнянь з двома та трьома невідомими методами Крамера, Гауса та матричним способом.

вміти: розв’язувати системи лінійних рівнянь з двома та трьома невідомими методами Крамера, Гауса та матричним способом.
Основні теоретичні відомості та вказівки
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Означення. Система лінійних алгебраїчних рівнянь має вигляд



Або в матричній формі

, де

, ,

Означення. Розв’язком системи наз матриця-стовпець Х, яка обертає матричне рівняння у тотожність.

Означення. Система наз сумісною, якщо має, хоча б один розв’язок, у протилежному випадку, вона наз несумісною.
Методи розв’язування систем рівнянь.

Розглянемо систему рівнянь

1. Матричний метод:

Реалізація методу полягає в знаходженні оберненої матриці і множенні її на стовпець вільних членів. Використовується для не вироджених квадратних систем.

2. Формули Крамера : - визначник системи; одержується з шляхом заміни і-го стовпця стовпцем вільних членів. Також використовується для не вироджених квадратних систем.

3. Метод Гаусса ґрунтується на наступній теоремі: елементарним перетворенням рядків розширеної матриці системи відповідає перетворення цієї системи в еквівалентну. Метод Гаусса представляє собою метод послідовного виключення змінних.
Задача. Розв’язати систему лінійних рівнянь:

а) способом Крамера,

б) методом Гаусса,

в)методом оберненої матриці.
1) 4)
2) 5)
3) 6)

Питання для самоконтролю

  1. Які способи розв’язування систем лінійних рівнянь ви знаєте?


Висновок:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оцінка______________ Підпис викладача______________

Основні теоретичні відомості та вказівки

Вектором називається направлений відрізок.

Нехай заданий вектор . Тоді його абсолютна величина обчислюється за формулою: .

Нехай задані точки та . Тоді абсолютна величина вектора обчислюється за формулою:

.

Вектор, абсолютна величина (або модуль) якого дорівнює нулю, називається нульовим вектором.

Кожний ненульовий вектор визначається довжиною та напрямком.
Дії над векторами:

Сумою векторів та називається вектор з координатами: .

Різницею векторів та називається вектор з координатами: .

Добутком вектора на число називається вектор .

Скалярним добутком векторів та називається число або .

Два ненульових вектори, напрямки яких співпадають або протилежні, називаються колінеарними.

Теорема (ознака колінеарності): Для того, щоб ненульові вектори та були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб існувало деяке число , яке задовольняє умові .

Кутом між двома ненульовими векторами називається кут між напрямками цих векторів. Якщо кут між векторами та дорівнює 90о, то ці вектори називаються ортогональними (перпендикулярними).

Теорема: Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

За визначенням скалярного добутку: . Звідси:

.

Вектори називаються компланарними, якщо кожний з них паралельний одній і тій же площині. Будь-які два вектори завжди компланарні.

Три некомпланарних вектора , та , взятих у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо після зведення їх до спільного початку вектор розташований по ту сторону від площини, яка містить вектори та , звідки здається відбувається менший поворот від до проти годинникової стрілки. В противному випадку, трійка векторів називається лівою.

Векторним добутком вектора на не колінеарний йому вектор називається такий вектор , який задовольняє наступним трьом умовам:

1) довжина вектора ;

2) вектор перпендикулярний векторам та ;

3) вектори , та у вказаному порядку утворюють праву трійку.

Якщо вектори та задані своїми координатами, то:

.

Мішаним добутком трьох векторів називається число, рівне скалярному добутку вектора на вектор .

Теорема: Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні.

Мішаний добуток трьох векторів дорівнює визначнику третього порядку, який складається з координат векторів, записаних в певному порядку:

.
Основні теоретичні відомості та вказівки

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд: , де деякі числа (при цьому коефіцієнти А та В не можуть одночасно дорівнювати нулю).

Означення: Будь – який вектор () паралельний прямій , називається направляючим вектором.

Означення: Будь – який вектор () перпендикулярний прямій , називається нормальним вектором.

Рівняння виду називається параметричним рівнянням прямої.

Рівняння виду називається канонічним рівнянням прямої.

Рівняння виду називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом та початковою ординатою . . Кутовий коефіцієнт можна обчислити, якщо відомі координати двох будь-яких точок прямої: та : .

Кут між двома прямими:

  1. Якщо прямі задані загальним рівнянням:



.

  1. Якщо прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами:



.

Умова паралельності двох прямих: або .

Умова перпендикулярності двох прямих: або .

Нехай задані дві точки та . Рівняння виду:



називається рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки.

Рівняння виду називається рівнянням прямої у відрізках, та точки перетину осей координат.

Нехай задана точка та вектор . Рівняння виду:



називається рівнянням прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.
Загальне рівняння лінії другого порядку на площині має вигляд: . Причому хоча б один з коефіцієнтів повинен відрізнятися від нуля.
Означення: Колом називається множина точок площини, рівновіддалених від даної точки, яка називається центром.

Якщо − центр кола, а його радіус, то рівняння називається загальним рівнянням кола.

Якщо центр кола співпадає з початком координат, то рівняння приймає вид: канонічне рівняння кола.

Означення: Еліпсом називається множина точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох заданих точок (тієї ж самої площини) величина постійна та більша відстані між цими заданими точками. Задані точки називаються фокусами еліпса, а відстань між ними – фокальна відстань.




фокуси еліпса;

фокальна відстань, ;

вершини еліпса;

велика вісь еліпса, ;

мала вісь еліпса, ;

Рівняння , де називається канонічним рівнянням еліпса.

Відношення називається ексцентриситетом еліпса.

Означення: Гіперболою називається множина точок площини, для кожної з яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок площини є величиною постійною та менше відстані між цими заданими точками.

Рівняння , де називається канонічним рівнянням гіперболи.

Означення: Параболою називається множина точок площини, для кожної з яких відстань до заданої точки дорівнює відстані до заданої прямої, яка не проходить через задану точку.

Задана точка називається фокусом параболи. Задана пряма називається директрисою параболи. Відстань від фокуса до директриси називається фокальним параметром параболи та позначається .

Рівняння називається канонічним рівнянням параболи.



;

фокус параболи;

;

поділитися в соціальних мережах



Схожі:

Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи...
Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані

Питання до іспиту з курсу “вища математика”
Приєднана матриця. Обернена матриця. Теорема про існування оберненої матриці. Формула для обчислення. Властивості

1 Визначники n-го порядку. Властивості визначників Що називається визначником другого порядку?
Як визначаються : сума двох матриць, добуток матриці на число, різниця та добуток двох матриць? Властивості цих дій

План Матриці, дії над ними. Обернена матриця. Ранг матриці
Матриці, дії над ними. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв’язок

Програма вступного фахового випробування зі спеціальності 7(8). 05010102...
Методи проектування «чорний ящик» І «прозорий ящик». Сутність методів, їх відмінність та сфери застосування

Тема: Формули скороченого множення
Мета: Закріпити знання формул скороченого множення, вміння їх використовувати та навчити застосовувати формули скороченого множення...

Тема. Квадратні рівняння
Мета. Ввести поняття квадратного рівняння. Класифікувати квадратні рівняння та методи їх розв’язання. Розробити алгоритм розв’язування...

Внутрішньо шкільний контроль І керівництво як основні функції управління...
Види соціальної інформації: науково-технічна, політична, економічна, ідеологічна, соціологічна, психологічна. Управлінська інформація....

Розкладання на множники лівої частини
Харків: Гімназія, 2010р,Математика. Варіанти завдань для письмового екзамену в 9 класах основної школи / Капіносов А. М. Литвиненко...

Наукової роботи «Діофантові рівняння та методи їх розв’язування»;...
Ман україни; Шепетівське міське наукове товариство; навчально-виховне об’єднання Дошкільний заклад-загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів...



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації

a.lekciya.com.ua
Головна сторінка